Coordenadas Cartesianas

 Descartes, filósofo, matemático y científico francés (1596-1650)   Este sistema se llama así en honor al filósofo, científico y matemático francés René Descartes (pronunciado "Decart") que vivió entre los años 1596 y 1650.  Descartes quiso fundamentar su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un «punto de partida» sobre el que edificar todo el conocimiento.

    Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un "punto de origen", el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas». A esto se le llama coordenadas cartesianas. 

    El sistema cartesiano se basa en el concepto de recta real. La recta real representa la sucesión de los números reales. Cada número real tiene correspondencia con un punto de esta recta. Si el número es positivo, se encontrará a la derecha del Origen O, mientras que si el número es negativo, se encontrará a la izquierda. 

Recta real

    

    En estas condiciones, cualquier punto (que corresponderá a un número real) se identificará con una letra (A, B, C...)  y se denominará entonces:

A=(XA)

    Como podemos ver, con esta recta ya tenemos un sistema de referencia para localizar puntos en una dimensión (1D) .

Recta real y punto A

       Desde el punto O (origen) se puede trazar un vector hasta el punto A. La recta será el eje X.  Así pues, este vector se expresará de la siguiente forma:

vector OA

donde el valor del vector está determinado por el escalar XA multiplicado por el vector unitario i, que corresponde al eje X. Veamos el vector representado en el eje X:

Vector OA en la recta real

     Un vector unitario es aquel que nos aporta la dirección deseada (en esta caso en la recta X) y su módulo es 1. 

Distancias

    La distancia entre dos puntos de una recta se encuentra restando la posición de ambos: 

d =  XA - XB 

    Pues bien, si usamos dos de estas rectas y las disponemos en ángulo recto (ortogonalmente) o, dicho de otra manera, si las disponemos perpendicularmente una a la otra, tendremos preparado un sistema de referencia para localizar puntos en un plano, es decir en dos dimensiones (2D).

ejes 2D


    En este sistema de referencia, para identificar un punto cualquiera, A,  lo proyectamos de forma ortogonal sobre cada uno de los ejes de coordenadas y esta proyección nos marca un punto en cada uno de los ejes. Los ejes se llaman abcisa (eje X) y ordenada (eje Y), así que los puntos "proyectados" tienen su correspondencia como XA e YA.   

    Vectorialmente, el vector OA es la suma de los vectores XAi + YAj,  como se puede ver en la imagen siguiente, donde i y j son respectivamente los vectores unitarios de los ejes X e Y.


ejes cartesianos para 2D.

    Cada uno de esos vectores unitarios (i y j) nos está dando la dirección en su eje, mientras que el módulo nos lo da los escalares XA e YA. 

Distancias

    La distancia al origen vendrá dada por el Teorema de Pitágoras, ya que dicha distancia es OA y equivale a la hipotenusa del triángulo rectángulo O-XA-A. Los catetos son XA y YA. Así pués,  la distancia será:

Expresión vector OA. Imagen generada con el programa Formulator 4.0 MathMl Weaver






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