Coordenadas Polares

 Coordenadas polares   Otra forma de asignar coordenadas en el plano (2D) es mediante las coordenadas polares. Las coordenadas polares de un punto A se establecen por la distancia al origen a la que se encuentra ese punto y el ángulo que forma dicho punto respecto del eje origen de las coordenadas. Para medir estas coordenadas se establece un punto y un eje horizontal. El ángulo se mide en sentido antihorario. 

      Así, las coordenadas se expresan, para ese punto A, mediante un par ordenado de números:  

A(R, θ) 

donde R es el Radio desde el punto de origen y θ es el ángulo tomado en sentido antihorario. En la imagen puedes comprender la idea de cómo funcionan la coordenadas polares.

Las coordenadas polares se usan desde hace siglos (Hiparco, 190 a. de C.) y su principal uso fue la astronomía, para medir la posición de las estrellas. Posteriormente se fueron usando para otras funciones (Newton, para las fluxiones, por ejemplo). 

En este sistema al punto Origen se lo llama "polo" y al eje horizontal de origen para medir los ángulos se lo llama "eje polar" . El punto Origen o polo coincide con el origen del eje cartesiano y el eje polar coincide con el eje X. El ángulo θ se puede dar en grados o en radianes. Si ese ángulo se mide en sentido opuesto a las agujas del reloj, se considera positivo y, en cambio, se considera negativo si el ángulo se mide en sentido horario.

Coordenadas polares e infinitos ángulos

Como el ángulo θ es periódico, con periodo 2∏, hay infinitos ángulos que sirven para establecer la coordenada del punto A.  

Conversión de Cartesianas a Polares

        Para pasar de coordenadas cartesianas a coordenadas polares, es necesario fijarse bien en el esquema siguiente, en el que vemos la relación entre las longitudes de X e Y y el ángulo. Hemos establecido un punto A, a una distancia R del origen de coordenadas. En la imagen podemos ver que el segmento OA hace un ángulo θ con el eje X y, por el Teorema de Pitágoras, siendo d la distancia del punto al origen (o vector OA) sabemos que:

Teorema de pitágoras para expresar R

(1) Fórmula del Teorema de Pitágoras

    La conversión de coordenadas polares a coordenadas cartesianas se consigue mediante la proyección del punto sobre los ejes X e Y. En este esquema, llamamos R a la distancia del punto al origen (en la fórmula anterior la llamábamos d). Dichas proyecciones son el seno y el coseno del ángulo y queda reflejada en el siguiente esquema:

Conversión polares a cartesianas. Créditos Marduk.

Por lo tanto, responde a las siguientes expresiones:

Y = R sen θ 

X = R cos θ 

Es decir, para convertir una coordenada polar en cartesiana, dados los dos elementos R y  el ángulo θ, aplicamos el seno y el coseno de dicho ángulo, lo multiplicamos por el radio R y obtenemos las coordenadas Y (seno) y X (coseno). 

 

Conversión de Polares a Cartesianas

    Para pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas, aplicamos el proceso inverso. Partimos de dos medidas X e Y y, mediante ellas obtenemos un punto A. 

    En primer lugar debemos obtener R. Como hemos visto arriba, R es la hipotenusa del triángulo rectángulo, así que lo podemos obtener a partir del Teorema de Pitágoras. Así, aplicamos la fórmula 1. Ya tendríamos R.

    En segundo lugar, calculamos el ángulo θ. Sabemos los catetos X (cos θ) e Y (sen θ). Tenemos varias vias para obtener θ. Si 

Y = R sen θ   

entonces, podemos decir que

Y/R = sen θ

por tanto,

θ = arc sen (Y/R)

y de esta forma tendremos el ángulo θ.

Madrid, 10 de Diciembre de 2010 





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