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Coordenadas Cartesianas 3D

    Para identificar la posición de un punto en el espacio utilizamos el sistema de coordenadas Cartesianas 3D. El espacio en el que nos movemos es (o parece) tridimensional. Este espacio es llamado euclídeo por los matemáticos, porque en él se cumplen las leyes geométricas de Euclides. Estos axiomas son:

  • Dados dos puntos, se puede trazar una recta entre ellos.

  • Cualquier recta se puede trazar de forma infinita en cualquier dirección.

  • Dado un punto, se puede trazar una circunferencia con cualquier radio.

  • Todos los ángulos rectos son iguales.

  • Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.

    El espacio es tridimensional a simple vista, y en física tradicional (o Newtoniana), aunque en Física Moderna o relativista existe una cuarta dimensión que interacciona con las otras tres dimensiones espaciales.

 Coordenadas 3D. Créditos Marduk   Este sistema deriva del que ya hemos visto en dos dimensiones (2D). Además de los ejes XY, que configuran un plano, añadimos un tercer eje Z, mediante el cual podemos representar un espacio tridimensional.  Las coordenadas de cualquier punto representadas mediante este sistema tienen, por tanto, la forma  A(x,y,z). En la siguiente imagen podemos ver un punto A representado en un espacio tridimensional. La línea D representa la distancia desde el punto A al origen de coordenadas O. 

    Cada uno de los ejes tiene asociado un vector unitario que establece la dirección y el sentido. Estos vectores se llaman i, j, k respectivamente (para x, y, z) y en la siguiente imagen aparecen en negro, partiendo desde el Origen de coordenadas, el punto en el que se cruzan los tres ejes.

    Punto A y vectores unitarios. Créditos Marduk astronomía.

    Con tres ejes obtenemos tres planos: XY, XZ, YZ.  Si proyectamos el punto sobre cada uno de estos tres planos, veremos el punto A y  sus vectores directores.

Proyección sobre el plano XY Proyección sobre el plano XZ Proyección sobre el plano YZ


COORDENADAS POLARES EN EL ESPACIO

    Para trabajar en tres dimensiones con coordenadas polares, es necesario definir un plano fundamental sobre el que proyectar el punto A. También debemos establecer la dirección y el sentido del eje principal, sobre el que realizar las medidas. Este eje ha de pasar por el origen. 

    De esta forma definimos en polares la posición tridimensional de un punto: 

Coordenadas polares en 3D

donde r es el radio vector o distancia desde el origen hasta el punto A, φ es el ángulo que hace esta recta con el plano fundamental XY y ψ es el ángulo que hace la recta OA con el eje X.  Los ángulos φ y ψ deben tener definido su sentido de crecimiento.  En la siguiente imagen vemos un esquema de este sistema de coordenadas polares en el espacio en tres dimensiones.

Coordenadas polares en espacio 3D. Créditos Marduk.

A poco que observemos, notaremos que el sistema usado en astronomía para obtener coordenadas, necesariamente es el de coordenadas polares. La causa de usar este sistema estriba en el desconocimiento de la distancia r (radio vector). Las coordenadas que se obtienen se llaman coordenadas esféricas y solamente nos dan la dirección en la que está un astro. Los distintos sistemas de coordenadas que pueden idearse, basados en las polares, se diferencias en el plano fundamental usado. Así, si el plano fundamental es el Ecuador, las coordenadas serán ecuatoriales. Si el plano es el horizonte, las coordenadas serán horizontales. Si el plano es la eclíptica, las coordenadas serán eclípticas.

            En el caso de las coordenadas ecuatoriales, ψ será la declinaciónφ será la Ascensión Recta

TRANSFORMACIÓN DE POLARES A CARTESIANAS

    Para pasar de coordenadas polares a cartesianas es necesario definir en la figura anterior los ejes cartesianos XYZ y las proyecciones del punto A sobre ellos:

Transformación de coordenadas polares a cartesianas. Créditos Marduk Astronomía.

    Las fórmulas de transformación son estas:

Relaciones entre las coordenadas polares 3D y las cartesianas 3D. Créditos Marduk astronomía.

 EXPLICACIÓN DE ESTAS FÓRMULAS

    Si no domina la trigonometría, para comprender el origen de estas transformaciones, use éste sencillo truco visual: piense siempre en la "proyección" de la distancia r sobre cada uno de los ejes, secuencialmente. Comenzamos con la primera coordenada (X):

       1. Proyecte r sobre el plano XY: el resultado será el coseno del ángulo ψes decir "cos ψ".

        2. Proyecte "cos ψ" sobre el eje X: el resultado será el coseno del ángulo φ, es decir "cos φ".

        3. Así pues, ya tenemos la primera expresión X.

Las demás se consiguen de la misma manera.

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