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VideoTamaño aparente de los objetos

La necesidad de realizar este video surgió cuando apareció en el correo electrónico la presentación de Power Point "Marte del tamaño de la Luna". Por mucho que diéramos argumentos en contra de esa noticia absurda, no había manera de explicar y convencer de una manera lógica, como no fuera con unos dibujos apropiados. Aquí, de nuevo, se hizo patente la necesidad de aplicar "la vista" a la enseñanza de la astronomía y en este caso, de la trigonometría. Lo primero fué deducir la fórmula que nos da el tamaño aparente de un astro (o de un objeto cualquiera) y, a continuación, diseñar el video. De entre los vídeos didácticos que vamos realizando es quizá el menos apreciado o más duro de asimilar porque lleva la explicación de las funciones trigonométricas seno y coseno. Pero precisamente por eso mismo, es muy apreciado cuando se entiende correctamente.  

Agradecimientos a Heraldo Soares de Oliveira (Brasil) por su ayuda en la traducción de los subtítulos al portugués.


El vídeo



El texto

Autor: Antonio González Estévez. © Agestevez 2010
Voz en off del vídeo:
Antonio González Estévez.
Música:
Nacho Rouco Estévez. © 2010


EL TAMAÑO APARENTE DE LOS OBJETOS

Esta es nuestra luna, el satélite natural de la Tierra. La Luna tiene un diámetro de unos 3.470 Kilómetros.  Si la vemos a simple vista, ocupa en el cielo el tamaño aproximado de un dedo de nuestra mano. Si la comparamos con el planeta Marte, nunca serán iguales, porque Marte está muy lejos. Se ha llegado a decir que Marte se verá del tamaño de la Luna, pero eso no es cierto, como vamos a demostrar aquí.

Desde la Tierra, Marte se verá siempre como un punto, mientras que la Luna se verá con diámetro aparente. La clave está en el "ángulo de mirada", es decir, en el ángulo que ocupan los cuerpos cuando los vemos. Esto también se conoce como "Tamaño aparente".

Cuando miramos un objeto, se establece un ángulo entre nuestro ojo y ese objeto. Este ángulo depende de la distancia a la que se encuentre el objeto y del tamaño del mismo. Si nos fijamos en este árbol, por ejemplo,  veremos qué queremos decir. Nuestro ojo ve el árbol con un tamaño aparente, que depende del tamaño del árbol y de su distancia a nosotros. Esto queda reflejado en el ángulo "A" que muestra la imagen. Pero si nos acercamos al árbol, o si el árbol es más grande, éste ángulo crece.

Del mismo modo, si nos alejáramos del árbol, o si el árbol fuera más pequeño, el ángulo "A" disminuiría. No es dificil adivinar que en todo este asunto están mezcladas las matemáticas y en especial la trigonometría porque todo se reduce a relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo y a las funciones trigonométricas Seno y Coseno. Si no comprendes bien estas funciones y la utilidad que tienen, quizá esta sea la oportunidad que buscabas.

El seno y el coseno son funciones trigonométricas. Esto quiere decir que se derivan de los valores de los ángulos en la circunferencia. El seno es la proyección del ángulo sobre el eje vertical y el coseno es la proyección sobre el eje horizontal. Estas funciones nos dan las medidas de los catetos de los triángulos rectángulos que se van formando a medida que crece el ángulo en una circunferencia. Si estudias la imagen, el seno es la linea verde vertical y el coseno es la linea roja horizontal.

La sucesión de los ángulos a lo largo de la circunferencia origina la evolución de los valores del seno y el coseno, produciendo estas características formas onduladas que mostramos ahora. Ambas son iguales, pero el coseno está retrasado 90º con respecto al seno. Es muy normal que estas funciones carezcan de sentido para mucha gente. ¿Qué puedo yo hacer con esto?...se preguntan, ¿Para qué me sirven a mí?... Bien, aquí demostraremos que el seno y el coseno están en todas partes en la naturaleza y en nuestro cerebro cuando interpretamos el tamaño de los objetos. Aprenderá a ver el seno y el coseno, cada vez  que mire un objeto o mida una distancia. Pero, volvamos con el árbol. Como hemos visto, al cambiar el tamaño aparente cambia el ángulo "A" con el que lo vemos. Podemos observar que se forma un triángulo rectángulo, siendo la distancia "D" un cateto, la altura del árbol otro cateto y la línea que va del ojo a la parte superior del árbol, la hipotenusa (H), que está coloreada en amarillo. El coseno de "A" es la relación entre la Hipotenusa "H" y la distancia "D". 

Es decir, cos(A) = D/H. 

De la misma manera, el seno de "A" es la relación entre la Hipotenusa "H" y la altura del árbol. 

Es decir, sen(A) = h/H

Si el ángulo de mirada fuera nulo (caso de un objeto muy pequeño o infinitamente alejado), el coseno serí­a
igual a la Hipotenusa, es decir, valdría aproximadamente 1, mientras que el seno (diámetro del objeto) sería prácticamente 0. Por el contrario, si el ángulo de mirada fuera cercano a 90º el objeto, o es muy grande, o está muy cerca y el seno será igual a la hipotenusa, mientras que el coseno será 0.

Si tomamos como referencia una circunferencia de radio 1, la hipotenusa H tendrá valor 1 y el seno, entonces, se hace equivalente a la altura del objeto mientras que el coseno se hace equivalente a la distancia a la que se encuentra de nuestro ojo. En definitiva, la altura del objeto nos está dando el seno  del ángulo de la mirada y la distancia al mismo nos estará dando el coseno de dicho ángulo.

Observa estas imágenes: si el automóvil está lejos, el coseno es grande y el seno (la altura) pequeño. Si el automóvil está cerca, es al revés, la distancia (coseno) es corta y la altura (seno), es mayor. La fórmula que nos permite calcular el tamaño aparente de un objeto, conociendo la distancia a la que se encuentra y su diámetro es la que vemos a continuación... para aquellos que no sepan trigonometría, diremos que ARCSIN es la función inversa de SIN ¿Cómo hacemos para saber el tamaño aparente del planeta Marte en la fecha de máxima aproximación a la Tierra?

En primer lugar, comparemos su tamaño con el de la Luna poniéndolos uno al lado del otro. El diámetro de Marte es 6.794 Kms aproximadamente. El diámetro de la Luna es aproximadamente la mitad del de Marte, unos 3.500 Kms.

Pues bién, apliquemos la fórmula: "Diámetro de Marte" dividido por "Distancia a la Tierra" obtenemos un ángulo de 0º 0' 14,16'' Por último, vamos a comparar ese tamaño aparente de Marte con el de la Luna La Luna tiene un tamaño aparente de unos 30' de grado,  es decir, medio grado.

En la fotografía se puede ver Marte en sus dos momentos  de máxima aproximación y de máximo alejamiento, al lado de la Luna.  En resumen, y como hemos podido ver, Marte nunca llegará  a tener el diámetro aparente de la Luna, por mucho que se acerque a la Tierra.

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